Origami Folding Lab — Plegado Dinámico (H6) + Overlay 3D

Arrastrá P, Q, y los extremos de ℓ₁, ℓ₂. Resolvé H6 (Beloch) y plegá con el slider. El overlay 3D refuerza la percepción del pliegue.

Presets

Sugerencia: resolvé y activá Overlay 3D para un efecto “libro” claro.

Acciones

Plegado

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¿Por qué H6 excede regla y compás?

Idea central (intuitiva)

El axioma H6 (Beloch) pide una única creasa tal que la reflexión de P caiga sobre la recta ℓ₁ y simultáneamente la reflexión de Q caiga sobre ℓ₂. Esa condición simultánea impone una restricción cúbica sobre la orientación/posición de la creasa. Las construcciones con regla y compás sólo resuelven extensiones cuadráticas (raíces de ecuaciones de grado potencia de 2), por lo que, en general, no pueden realizar este paso cúbico.

Derivación breve (geométrica)

Representamos la creasa como normal unitaria n=(cos φ, sin φ) y desplazamiento c (forma normal n·x=c). La reflexión de un punto X en esa recta es X′ = X − 2((n·X − c))n. Las condiciones H6 son:

(i)  n₁·P′ = c₁   (P′ sobre ℓ₁)
(ii) n₂·Q′ = c₂   (Q′ sobre ℓ₂)

Sustituyendo P′ y Q′ se obtienen dos ecuaciones no lineales en (φ,c). Eliminando c (por ejemplo, con diferencias y usando tan(φ/2) para parametrizar la dirección) surge una ecuación polinómica de grado 3 en la variable angular (o en la pendiente de la creasa). Esa cúbica caracteriza las soluciones de H6.

Marco algebraico (constructibilidad)

Con regla y compás sólo se obtienen longitudes cuyos números pertenecen a una torre de extensiones cuadráticas de ℚ; por tanto, sus grados sobre ℚ son potencias de 2. En términos de polinomios mínimos, sólo se resuelven ecuaciones cuyas raíces tienen grado 2ᵏ. Los problemas cúbicos (grado 3 irreducible) como la trisección de un ángulo genérico o la duplicación del cubo quedan fuera del alcance euclidiano clásico. El pliegue H6 es un caso de neusis en papel que sí permite resolver cúbicas; por eso H6 excede regla y compás.

Consecuencia práctica

En este laboratorio, el botón Resolver H6 utiliza un método numérico (tipo Levenberg–Marquardt) para encontrar (φ,c). Ese solver refleja precisamente que la condición geométrica subyacente conduce a una cúbica: si el caso fuese puramente euclidiano (cuadrático), sería resoluble por construcciones clásicas sin recurrir a un pliegue “neusis”.

Overlay 3D — ilustrativo (no métrico), alineado con la creasa calculada